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수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 대각화(Diagnalization)의 정의 행렬 $A$가 eigenvector가 있을 때, $D=X^{-1}AX$를 diagnal matrix라고 한다. $D$는 대각행렬이기에 대각원소를 제외하면 모두 0이다. diagnal matrix에는 세가지 특징이 있다. 그리고 행렬 $A$에서 diagnal matrix를 만드는 과정을 대각화(Diagnalization)라고 한다. $D$의 main diagnal entries는 행렬 $A$의 eigenvalue로 구성되어 있다. $X$는 $A$의 eigenvector를 column vector로 서로 붙여놓은 것이다. 그 순서는 $D$의 main dia..

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 여러가지 행렬 ## Symmetric Matrix : $A^T = A$ ## Skew-Symmetric Matrix : $A^T = -A$ ## Orthogonal Matrix : $A^T = A^{-1}$ Symmetric Matrix R과 Skew-Symmetric Matrix S에 대해, 행렬 A를 R+S로 표현할 수 있다. 이 때, 이 행렬 A를 구해서 다음과 같이 쓸 수 있다. $R = (A+A^T)/2$, $R = (A-A^T)/2$ 몇 가지 정리 Symmetric Matrix의 eigenvalue는 항상 실수다. 2. Skew-Symmetric Matrix의 eigenvalue는 항..

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. Eigenvector와 Eigenvalue와 관련된 정리 $n \times n$ Matrix의 characteristic equation(특성방정식)의 근은 1~$n$개이다. 따라서 eigenvector는 1~$n$개이다. $w, x$가 eigenvector면, $w+x$와 $kx$도 eigenvector이다. 여기서 새로운 용어 eigenspace eigenspace of $\gamma$란, 하나의 $\gamma$에 대한 모든 eigenvector와 zero vector의 집합을 뜻한다. 다음 예제를 풀어보자 이 예제에서 볼 수 있듯이 특성방정식(charateristic equation)은 다..

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 고유벡터와 고유값 : Eigenvector, Eigenvalue 이번에는 정사각행렬의 특성을 알려주는 eigenvector와 eigenvalue의 정의에 대해서 알아볼 것이다. 아래는 eigenvector와 eigenvalue의 정의이다. 다음은 eigenvector와 eigenvalue를 구하는 방법에 관한 것이다. 즉 위의 행렬식을 풀이하면 eigenvector와 eigenvalue를 구할 수 있다. 이때, $x$는 정의로 인해 영행렬이 될 수 없다. 따라서 $|A - \gamma I| = 0$이어야 한다. $|A - \gamma I| = 0$은 앞서 배운 evaluation of deter..

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 역행렬 공식 Gauss Elimination이 아닌 방법으로 역행렬을 구하는 공식이 있다. 그 식은 다음과 같다. 단 이 식을 사용하기 전에 반드시 역행렬을 만들 행렬이 nonsigular한 지 확인해야만 한다! 아래 예제를 보자. 크래머 법칙 Crammer’s Rule 행렬방정식을 풀 때, 크래머 법칙을 이용해서 해집합의 원소를 빠르게 구할 수 있다. $AX = B$에서 해가 unique한 nonhomogeneous solution을 구할 때 사용한다. 해집합 $U = H + H_p$에서 $H = 0$이어야 하므로, $rank(A) = n$이어야한다. 아래와 같이 하면 된다. 공대생지식창고 오..

역행렬 공식 이 공식은 시도하기 전에 그 determinant가 0이 아닌 것을 확인하고 해야한다. $n \times n$행렬 $A$가 nonsingular일 때, $B = A^{-1}$이면 $$b_{ij} = \frac{1}{|A|}(-1)^{i+j}M_{ji}$$ EX) $A = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 2 & 9 & -5 \end{bmatrix}$ 은 $|A|=120$ $b_{11} = \frac{1}{120}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 9 & -5 \end{vmatrix}$ ... 이렇게 역행렬의 각 원소를 구해줄 수 있다.

큰 Determinant를 작은 Determinant의 합으로 표현할 수 있다. 이 방법을 expansion by cofactors라고 한다. $$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots \\ a_{k1} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + ..

Determinant를 구하는 방법 중 하나를 소개한다. 방법은 간단하다. 하나의 row/column을 하나의 원소를 제외하고 모두 0으로 만드는 것으로 시작한다. $A = \begin{bmatrix}a_{11} & 0 & 0 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$에서 $a_{11}$를 포함하는 행과 열을 모두 지우고 남은 원소들을 이용해 determinant를 구한다. $=(-1)^{1+1} a_{11} \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ $=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})$ 정리하면 $|A| = (-1)^{..

Permutation. 순열 모든 순서의 경우의 수를 따져서 한수의 뒤의 수가 더 작은 수인 회수들을 합한 함수 이게 뭔소리냐??? 12345를 25143으로 뒀을 때, permutation $p$의 값은? 2의 오른쪽에서 2보다 작은 수 1개 5의 오른쪽에서 5보다 작은 수 3개 1의 오른쪽에서 1보다 작은 수 0개 4의 오른쪽에서 4보다 작은 수 1개 따라서 $p = 5$이고, 홀수이기에 이를 odd permutation이라고한다. 이 때 $\sigma (p)$가 even permutation이면 1이고, odd permutation이면 -1이다. Determinant의 Definition (별로 안중요하다.) $det(A) = |A| = \Sigma_{p} \sigma (p)a_{1p(1)}a_{2..

제한 조건 정사각행렬에 대해서만 논하기로한다. 역행렬의 정의 정사각행렬$A$에 대해, $AB=BA=I_n$이 성립하게하는 $B$는 $A$의 역행렬이다. $$B=A^{-1}$$ 표현 singular : 역행렬 없다는 뜻 nonsingular : 역행렬 있다는 뜻 역행렬의 성질 - $I_n$의 역행렬은 $I_n$ - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ - $(A^{-1})^{-1}$ - $(A^{t})^{-1} = (A^{-1})^{t}$ - $A_R = I_n$ 혹은 $rank(A) = rank(A_R)=n$ -> $A$는 nonsingular - $AB$ nonsingular -> $A$ and $B$ nonsingular - $A$ or $B$ singular -> $AB$ and $BA$..