큰 Determinant를 작은 Determinant의 합으로 표현할 수 있다. 이 방법을 expansion by cofactors라고 한다.
$$|A| = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots \\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\
\vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots \\
a_{k1} & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots \\
0 & a_{k2} & \cdots & 0 \\
\vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
+
\cdots
+
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{kn} \\
\vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$$
이렇게 하고, Determinant Evaluation 1에서 만든 공식 $|A|=(-1)^{k+j}a_{kj} |A_{kj}|$를 이용하면,
$$|A|=\Sigma (-1)^{k+j}a_{kj} |A_{kj}|$$
이 된다.
방금의 경우는 한 행에 대해서 Determinant Evaluation 2를 적용했지만, 같은 방식으로 하나의 열에 대해서도 적용할 수 있다.
EX1)
$|A| = \begin{vmatrix}
-6 & 3 & 7 \\
12 & -5 & -9 \\
2 & 4 & -6
\end{vmatrix}$
을 첫번째 행을 분해하는 것으로 풀이하면
$|A| = (-1)^{1+1}(-6)\begin{vmatrix}
-5 & -9 \\
4 & -6
\end{vmatrix}
+
(-1)^{1+2}(3)\begin{vmatrix}
12 & -9 \\
2 & -6
\end{vmatrix}
+
(-1)^{1+3}(7)\begin{vmatrix}
12 & -5 \\
2 & 4
\end{vmatrix}$
EX2)
$|A| = \begin{vmatrix}
-6 & 3 & 7 \\
12 & -5 & -9 \\
2 & 4 & -6
\end{vmatrix}$
을 첫 번째 열을 분해하는 것으로 풀이하면
$|A| = (-1)^{1+1}(-6)\begin{vmatrix}
-5 & -9 \\
4 & -6
\end{vmatrix}
+
(-1)^{2+1}(12)\begin{vmatrix}
3 & 7 \\
4 & -6
\end{vmatrix}
+
(-1)^{3+1}(2)\begin{vmatrix}
3 & 7 \\
-5 & -9
\end{vmatrix}$