Permutation. 순열
모든 순서의 경우의 수를 따져서 한수의 뒤의 수가 더 작은 수인 회수들을 합한 함수
이게 뭔소리냐???
12345를 25143으로 뒀을 때, permutation $p$의 값은?
2의 오른쪽에서 2보다 작은 수 1개
5의 오른쪽에서 5보다 작은 수 3개
1의 오른쪽에서 1보다 작은 수 0개
4의 오른쪽에서 4보다 작은 수 1개
따라서 $p = 5$이고, 홀수이기에 이를 odd permutation이라고한다.
이 때 $\sigma (p)$가 even permutation이면 1이고, odd permutation이면 -1이다.
Determinant의 Definition (별로 안중요하다.)
$det(A) = |A| = \Sigma_{p} \sigma (p)a_{1p(1)}a_{2p(2)}...a_{np(n)}$
ex)
$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$이면,
$|A| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$이다.
ex)
$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$이면,
$|A| = a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$이다.
Properties of Determinants
ERO를 $A$에 적용해서 $B$가 된다고 할 때
1-1. Type1 ERO를 하면, $|B| = -|A|$
1-2. Type2 ERO를 하면, $|B| = \alpha |A|$
1-3. Type3 ERO를 하면, $|B| = |A|$zero row/column이 있으면 $|A| = 0$, two row/column same이면 $|A| = 0$, one row/column is constant multiple of other row/column이면 $|A| = 0$
$|A|^t = |A|$
하나의 row k에 대하여 $a_{kj} = b_{kj} + c_{kj}$이 성립하는 경우,
$$\begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j}& ...& a_{1n} \\ ... \\ b_{k1} + c_{k1} & ... & b_{kj} + c_{kj}& ...& b_{kn} + c_{kn} \\ ... \\ a_{n1} & ... & a_{nj}& ... & a_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1j}& ... & a_{1n} \\ ... \\ b_{k1}& ... & b_{kj}&...& b_{kn} \\ ... \\ a_{n1} &... & a_{nj}&...& a_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} &... & a_{1j}&...& a_{1n} \\ ... \\ c_{k1}&... & c_{kj}&...& c_{kn} \\ ... \\ a_{n1} &... & a_{nj}&...& a_{nn} \end{bmatrix}$$
$A, B$ 모두 크기가 n인 정사각행렬일 때, $|AB| = |A||B|$
$|A| \neq 0$이면 $A$는 nonsingular(역행렬이 존재한다.)