제한 조건
정사각행렬에 대해서만 논하기로한다.
역행렬의 정의
정사각행렬$A$에 대해, $AB=BA=I_n$이 성립하게하는 $B$는 $A$의 역행렬이다.
$$B=A^{-1}$$
표현
singular : 역행렬 없다는 뜻
nonsingular : 역행렬 있다는 뜻
역행렬의 성질
- $I_n$의 역행렬은 $I_n$ - $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- $(A^{-1})^{-1}$ - $(A^{t})^{-1} = (A^{-1})^{t}$
- $A_R = I_n$ 혹은 $rank(A) = rank(A_R)=n$ -> $A$는 nonsingular
- $AB$ nonsingular -> $A$ and $B$ nonsingular
- $A$ or $B$ singular -> $AB$ and $BA$ singular
- ERO의 Elementary matrices는 nonsingular. 그 역행렬도 elementary matrices가 나온다.
- $n \times 1$인 행렬 $B$dp eogotj, $AX=B$가 solution이 있으면 $A$는 nonsingular
역행렬과 solution 구하기
1. $AX=O$의 근이 $X=\begin{bmatrix}0 \\0 \\...\\0 \end{bmatrix}$이 아니려면, $A$는 singular이어야한다. (왜냐하면, A가 singular이면 $A_R \neq I_n$. 당연히, $X \neq \begin{bmatrix}0 \\0 \\...\\0 \end{bmatrix}$ ) 2. $A$가 nonsingular -> $AX=B$는 단일한 근(Unique Solution)을 가진다., $X = A^{-1}B$ 3. $A$와 $[A:B]$가 같은 rank이면, $AX=B$는 consistent(근이 존재한다.) 4. $A$보다 $[A:B]$의 rank가 더 크다면,$AX=B$는 inconsistent(근이 존재하지 않는다.)
EX)
$\begin{bmatrix}1 & -1 & 2 &|3\\-4 & 1 & 7 &|-5\\-2 & -1 & 11 &|14 \end{bmatrix}$ ->reduce-> $\begin{bmatrix}1 & 0 & -3 &|0\\0 & 1 & -5 &|0\\0 & 0 & 0 &|0\end{bmatrix}$
즉 $0x_1+0x_2+0x_3=1$인 상황이 나오게 된다.
EX)
$\begin{cases}2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4 \\x_1 +9x_2 - 2x_3 = -8 \\ 4x_1 - 8x_2 + 11x_3 = 15\end{cases}$-> $A = \begin{bmatrix}2 & -1 & 3\\1 & 9 & -2\\4 & -8 & 11\end{bmatrix}$
$A^{-1} = {1 \over 53} \begin{bmatrix}83 & -13 & -2\\ -19 & 10 & 7\\ -44 & 12 & 19\end{bmatrix}$
$\therefore \space X=A^{-1}B = {1 \over 53} \begin{bmatrix}83 & -13 & -25\\ -19 & 10 & 7\\ -44 & 12 & 19\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 \\-8\\15 \end{bmatrix}$
역행렬 만드는 방법 : Gauss Elimination
$A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\-1 & 9 \end{bmatrix}$
$A:I_2 = \begin{bmatrix}2 & 3| &1 &0 \\-1 & 9| &0 &1 \end{bmatrix}$
이렇게 옆에 항등행렬을 첨부하고, 왼쪽 부분이 항등행렬이 되도록 reduce해준다. 그러면 오른쪽 첨부된 곳에 역행렬이 나온다.
$(A:I_2)_R = \begin{bmatrix}1 & 0| &3/7 &-1/7 \\0 & 1| &1/21 &2/21 \end{bmatrix}$