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Engineering Fundamentals 26

공업수학 요점정리 #25 - 선형대수학(Linear Algebra) - 대각화 (Diagnalization)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 대각화(Diagnalization)의 정의 행렬 A가 eigenvector가 있을 때, D=X1AX를 diagnal matrix라고 한다. D는 대각행렬이기에 대각원소를 제외하면 모두 0이다. diagnal matrix에는 세가지 특징이 있다. 그리고 행렬 A에서 diagnal matrix를 만드는 과정을 대각화(Diagnalization)라고 한다. D의 main diagnal entries는 행렬 A의 eigenvalue로 구성되어 있다. XA의 eigenvector를 column vector로 서로 붙여놓은 것이다. 그 순서는 D의 main dia..

공업수학 요점정리 #24 - 선형대수학(Linear Algebra) - 대칭행렬, 반대칭 행렬, 직교행렬 (Symmetric Matrix, Skew-Symmetric Matrix, Orthogonal Matrix)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 여러가지 행렬 ## Symmetric Matrix : AT=A ## Skew-Symmetric Matrix : AT=A ## Orthogonal Matrix : AT=A1 Symmetric Matrix R과 Skew-Symmetric Matrix S에 대해, 행렬 A를 R+S로 표현할 수 있다. 이 때, 이 행렬 A를 구해서 다음과 같이 쓸 수 있다. R=(A+AT)/2, R=(AAT)/2 몇 가지 정리 Symmetric Matrix의 eigenvalue는 항상 실수다. 2. Skew-Symmetric Matrix의 eigenvalue는 항..

공업수학 요점정리 #23 - 선형대수학(Linear Algebra) - 고유벡터와 고유값에 관한 정리 모음 (Theorems for Eigenvector, Eigenvalue)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. Eigenvector와 Eigenvalue와 관련된 정리 n×n Matrix의 characteristic equation(특성방정식)의 근은 1~n개이다. 따라서 eigenvector는 1~n개이다. w,x가 eigenvector면, w+xkx도 eigenvector이다. 여기서 새로운 용어 eigenspace eigenspace of γ란, 하나의 γ에 대한 모든 eigenvector와 zero vector의 집합을 뜻한다. 다음 예제를 풀어보자 이 예제에서 볼 수 있듯이 특성방정식(charateristic equation)은 다..

공업수학 요점정리 #22 - 선형대수학(Linear Algebra) - 고유벡터와 고유값 (Eigenvector, Eigenvalue)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 고유벡터와 고유값 : Eigenvector, Eigenvalue 이번에는 정사각행렬의 특성을 알려주는 eigenvector와 eigenvalue의 정의에 대해서 알아볼 것이다. 아래는 eigenvector와 eigenvalue의 정의이다. 다음은 eigenvector와 eigenvalue를 구하는 방법에 관한 것이다. 즉 위의 행렬식을 풀이하면 eigenvector와 eigenvalue를 구할 수 있다. 이때, x는 정의로 인해 영행렬이 될 수 없다. 따라서 |AγI|=0이어야 한다. |AγI|=0은 앞서 배운 evaluation of deter..

공업수학 요점정리 #21 - 선형대수학(Linear Algebra) - 역행렬 공식, 크래머 공식 (Reverse Theorem, Crammer's Rule)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다. 자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다. 역행렬 공식 Gauss Elimination이 아닌 방법으로 역행렬을 구하는 공식이 있다. 그 식은 다음과 같다. 단 이 식을 사용하기 전에 반드시 역행렬을 만들 행렬이 nonsigular한 지 확인해야만 한다! 아래 예제를 보자. 크래머 법칙 Crammer’s Rule 행렬방정식을 풀 때, 크래머 법칙을 이용해서 해집합의 원소를 빠르게 구할 수 있다. AX=B에서 해가 unique한 nonhomogeneous solution을 구할 때 사용한다. 해집합 U=H+Hp에서 H=0이어야 하므로, rank(A)=n이어야한다. 아래와 같이 하면 된다. 공대생지식창고 오..

공업수학 요점정리 #21 - 선형대수학(Linear Algebra) - Gauss Elimination이 아닌 역행렬 공식

역행렬 공식 이 공식은 시도하기 전에 그 determinant가 0이 아닌 것을 확인하고 해야한다. n×n행렬 A가 nonsingular일 때, B=A1이면 bij=1|A|(1)i+jMji EX) A=[241633295]|A|=120 b11=1120(1)1+1|3395| ... 이렇게 역행렬의 각 원소를 구해줄 수 있다.

공업수학 요점정리 #20 - 선형대수학(Linear Algebra) - 행렬식의 계산 2 (Evaluation of Determinants 2)

큰 Determinant를 작은 Determinant의 합으로 표현할 수 있다. 이 방법을 expansion by cofactors라고 한다. $$|A| = |a11a12a1nak1ak2aknan1an2ann| = |a11a12a1nak100an1an2ann| + ..

공업수학 요점정리 #19 - 선형대수학(Linear Algebra) - 행렬식의 계산 1(Evaluation of Determinants 1)

Determinant를 구하는 방법 중 하나를 소개한다. 방법은 간단하다. 하나의 row/column을 하나의 원소를 제외하고 모두 0으로 만드는 것으로 시작한다. A=[a1100a21a22a23a31a32a33]에서 a11를 포함하는 행과 열을 모두 지우고 남은 원소들을 이용해 determinant를 구한다. =(1)1+1a11[a22a23a32a33] =a11(a22a33a23a32) 정리하면 $|A| = (-1)^{..

공업수학 요점정리 #18 - 선형대수학(Linear Algebra) - 행렬식(Determinant)

Permutation. 순열 모든 순서의 경우의 수를 따져서 한수의 뒤의 수가 더 작은 수인 회수들을 합한 함수 이게 뭔소리냐??? 12345를 25143으로 뒀을 때, permutation p의 값은? 2의 오른쪽에서 2보다 작은 수 1개 5의 오른쪽에서 5보다 작은 수 3개 1의 오른쪽에서 1보다 작은 수 0개 4의 오른쪽에서 4보다 작은 수 1개 따라서 p=5이고, 홀수이기에 이를 odd permutation이라고한다. 이 때 σ(p)가 even permutation이면 1이고, odd permutation이면 -1이다. Determinant의 Definition (별로 안중요하다.) $det(A) = |A| = \Sigma_{p} \sigma (p)a_{1p(1)}a_{2..

공업수학 요점정리 #17 - 선형대수학(Linear Algebra) - 역행렬(Matrix Inverse), 가우스 소거법(Gauss Elimination)

제한 조건 정사각행렬에 대해서만 논하기로한다. 역행렬의 정의 정사각행렬A에 대해, AB=BA=In이 성립하게하는 BA의 역행렬이다. B=A1 표현 singular : 역행렬 없다는 뜻 nonsingular : 역행렬 있다는 뜻 역행렬의 성질 - In의 역행렬은 In - (AB)1=B1A1 - (A1)1 - (At)1=(A1)t - AR=In 혹은 rank(A)=rank(AR)=n -> A는 nonsingular - AB nonsingular -> A and B nonsingular - A or B singular -> AB and BA..

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