공업수학 요점정리 #19 - 선형대수학(Linear Algebra) - 행렬식의 계산 1(Evaluation of Determinants 1)

Determinant를 구하는 방법 중 하나를 소개한다.

방법은 간단하다. 하나의 row/column을 하나의 원소를 제외하고 모두 0으로 만드는 것으로 시작한다.

$A = \begin{bmatrix}a_{11} & 0 & 0 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$에서 $a_{11}$를 포함하는 행과 열을 모두 지우고
남은 원소들을 이용해 determinant를 구한다.

$=(-1)^{1+1} a_{11} \begin{bmatrix} a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$
$=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})$

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정리하면

$|A| = (-1)^{k+r}a_{kr}|A_{kr}|$이고,
$a_{kr}$은 $A$에서 nonzero 원소이고, $A_{kr}$는 k행과 r열을 삭제하고 새로 얻어진 행렬(minor)이다.

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어떻게 '하나의 row/column을 하나의 원소를 제외하고 모두 0으로 만드는 것으로 시작한다.'를 행할 것인가?

ERO를 이용해서 하나의 row/column을 zero로 만든다. 이때 row operation과 같은 방식을 column에 적용할 수 있다. 물론 determinant 문제에 한정해서다.

아래 예제를 볼 때 Determinant에 대한 법칙을 참고하자
링크 : https://knowledgeforengineers.tistory.com/111

 

>예제)
$A = \begin{bmatrix}-6&0&1&3&2 \\ -1&5&0&1&7 \\ 8&3&2&1&7 \\ 0&1&5&-3&2\\ 1&15&-3&9&4 \end{bmatrix}$의 determinant는?

풀이)
첫 행과 ERO를 이용해 세번째 열을 0으로 만들어주자.

$B = \begin{bmatrix}-6&0&1&3&2 \\ -1&5&0&1&7 \\ 20&3&0&-5&3 \\ 30&1&0&-18&8\\ -17&15&0&18&10 \end{bmatrix}$
ERO에 대한 Determinant 법칙에 따라$|A| = |B|$

$C = \begin{bmatrix} -1&5&1&7 \\ 20&3&-5&3 \\ 30&1&-18&8\\ -17&15&18&10 \end{bmatrix}$
따라서 $|B| = (-1)^{1+3} \times 1 \times |C|$

이번엔 첫 행을 모두 0으로 만든다.
$D = \begin{bmatrix} -1&0&0&0 \\ 20&103&15&143 \\ 30&151&12&202\\ -17&-70&1&-109 \end{bmatrix}$
$|C| = |D|$

$E = \begin{bmatrix} 103&15&143 \\ 151&12&202\\ -70&1&-109 \end{bmatrix}$
$|D| = (-1)^{1+1} \times (-1) \times |E|$

$F = \begin{bmatrix} 1153&0&1778 \\ 991&0&1510\\ -70&1&-109 \end{bmatrix}$
$|E| = |F|$

$G = \begin{bmatrix} 1153&1778 \\ 991&1510 \end{bmatrix}$
$|F| = (-1)^{3+2} \times |G|$
각 행렬의 determinant를 종합해보면

$|A|=|B|=|C|=|D|=-|E| = -|F|=|G| = -20968$이다.