수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
Eigenvector와 Eigenvalue와 관련된 정리
- $n \times n$ Matrix의 characteristic equation(특성방정식)의 근은 1~$n$개이다. 따라서 eigenvector는 1~$n$개이다.
- $w, x$가 eigenvector면, $w+x$와 $kx$도 eigenvector이다.
여기서 새로운 용어 eigenspace
eigenspace of $\gamma$란, 하나의 $\gamma$에 대한 모든 eigenvector와 zero vector의 집합을 뜻한다.
다음 예제를 풀어보자
이 예제에서 볼 수 있듯이 특성방정식(charateristic equation)은 다항식의 형태로 나타나게 되고, 다음과 같이 $\gamma$의 경우의 수를 나눠서 계산해주면 되겠다.
참고로 $n \times n$ Matrix에서 서로다른 n개의 eigenvalue가 나오면, n개의 서로 선형독립인 eigenvector가 나온다.
물론 경우에 따라서는 n개보다 적은(위의 예제와 같이 중복되는) eigenvalue가 나와도 n개의 선형독립 eigenvector가 나온다. 위의 예제가 딱 그런 경우다.
나머지 정리도 보자.
3. $n \times n$ Matrix $A$의 eigenvalue가 $\gamma$이면
3-1. $A^t$의 eigenvlaue는 $\gamma$
3-2. $A^{-1}$의 eigenvlaue는 $1 / \gamma$
3-3. triangular diagonal Matrix의 eigenvalue는 main diagonal entries 이다. 아래와 같이. 이를 이용해서 대각화된 행렬의 eigenvalue를 손쉽게 찾아낼 수 있다.
3-4. 행렬이 실수 원소만 가지고 있는 경우, $\gamma = \alpha + i\beta$가 eigenvalue면, $\gamma = \alpha - i\beta$도 eigenvalue다.
3-5. 행렬이 실수 원소만 가지고 있는 경우, $\gamma = \alpha + i\beta$의 eigenvector가 $E$이면, $\gamma = \alpha - i\beta$의 eigenvector는 $E$의 공핵복소행렬이다.
3-6. 원소가 모두 실수이고, 대칭(symmetric)인 행렬의 모든 eigenvector는 서로 orthogonal(서로 내적하면 0)하다. 이와 관련해서는 아래 예제를 보자.
공대생지식창고 오픈카톡방
https://open.kakao.com/o/swnAyLyc
공대생지식창고님의 오픈프로필
공대생에게 도움이 될만한 글을 씁니다. www.knowledgeforenginners.tistory.com
open.kakao.com
공대생지식창고 Github
engineerJPark - Overview
engineerJPark has 2 repositories available. Follow their code on GitHub.
github.com