수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \space … \space + a_{1m}x_m = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \space … \space + a_{2m}x_m = b_2\\
.\\
.\\
.\\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \space … \space + a_{nm}x_m = b_n$
인 형태는 행렬 표시로서는 $AX=B$로 표시된다.
이 때 근이 있으면 consistent하다고 하고, 없는 경우 inconsistent하다고 한다.
상미분방정식의 풀이와 같이 $AX=O$의 general solution은 associated homogeneous system $AX=O$의 근 $H$와, $AX=B$의 particular solution인 $U_p$의 합이다.
즉, $U = H + U_p$
이 때, $AX=O$의 근 $H$이 trivial solution이면($H = O$이면), $U_p$은 unique solution이 된다!
다만 Nonhomogeneous System을 풀 때 associated homogeneous system을 풀고, 따로 특수해를 구하거나 하지는 않는다. 다음 원리를 이용하여 푼다.
$AX=B$의 근은 $A_RX=C$의 근과 같다. 이 때, $[A:B]_R => [A_R:C]$이다.
예제) 다음의 general solution을 구해라.
$\begin{bmatrix} -3 &2 &2 \\1 &4 &-6 \\0 &-2 &2 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 8 \\1\\-2 \end{bmatrix}$
풀이)
$[A_R:C]$는 다음과 같이 된다. (가로로 죽 줄 긋는 Tex 표기를 못찾아서 아래와 같이 표기한다.)
$\begin{bmatrix}
1 &0 &0 &:0 \\0 &1 &0 &: 5/2 \\0 &0 &1&:3/2
\end{bmatrix}$
따라서, $H = \begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\0
\end{bmatrix}$, $U_p = \begin{bmatrix}
0 \\ 5/2 \\3/2
\end{bmatrix}$이다.
$A$와 $[A:B]$의 rank가 같으면, $AX=B$는 consistent하다.
만약 $rank(A) < rank([A:B])$이라면, $AX=B$은 inconsistent하다.
예제) 다음의 general solution을 구해라.
$\begin{bmatrix} 1 &-1 &2 \\-4 &1 &7 \\-2 &-1 &11 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 3 \\-5\\14 \end{bmatrix}$
풀이)
$[A_R:C]$는 다음과 같이 된다. (가로로 죽 줄 긋는 Tex 표기를 못찾아서 아래와 같이 표기한다.)
$\begin{bmatrix}
1 &0 &-3 &:0 \\0 &1 &-5 &: 0 \\0 &0 &0&:1
\end{bmatrix}$
따라서, 이런 경우, 본 system은 그 근이 inconsistent하다. 즉 없다.