수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
아래의 Homogeneous equation은
$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \space … \space + a_{1m}x_m = 0\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \space … \space + a_{2m}x_m = 0\\
.\\
.\\
.\\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \space … \space + a_{nm}x_m = 0$
아래의 행렬곱과 같다.
$\begin{bmatrix}a_11&a_12&a_13&...&a_1m\\
a_21&a_22&a_23&...&a_2m\\
.\\
.\\
.\\
a_n1&a_n2&a_n3&...&a_nm \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\
x_2\\
.\\
.\\
.\\
x_m \end{bmatrix} = O$
$AX=O$와 $A_RX=O$의 solution은 같다는 것을 이용해서, $A$를 reduce해서 푼다.
그동안 행렬에 관한 여러 정리와 행연산을 공부한 것은 사실 연립방정식을 풀기 위함이었다...
$AX=O$와 $A_RX=O$의 solution은 같다는 것에 대해서는 전공서의 증명을 참고하길 바란다.
아래의 정리에서 $A$는 $n \times m$ 행렬이다. 아래는 주요 정리를 종합한 것이니, 증명은 전공서를 찾아보자.
- $A_R$에 zero row가 존재하는 경우, 해 $X$는 비자명한 해가 되고, 몇개의 변수가 곱해진 꼴이 된다. 이 때 이 변수를 free variable이 생긴다. (예제 참고)
- "$AX=O$의 solution set(해집합)" = "$A_RX=O$의 solution set(해집합)" = solution space(해공간)이다.
- dimension of solution space(해공간의 차원) = number of basis vectors of solution space(해공간의 기저벡터 수) = $m - number \space of \space nonzero \space rows \space of \space A_R$ = $m-rank(A_R)$
- $m-rank(A_R) > 0$이면, free variable이 존재하게 되고, 따라서 $X$는 영행렬이 아닌, 비자명해(nontrivial solution)가 된다.
- 만약 $A$가 $n \times n$이고, $A_R=I_n$이면, $m-rank(A_R) = 0$이고, $X$는 영행렬이고, 자명한 해가 된다.
예제)
$A = \begin{bmatrix}
2&-3&1\\
-1&-1&2\\
3&-2&-2
\end{bmatrix}$인, $AX=O$를 풀라.
해설)
$A$를 reduce 해주면,
$A_R = \begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bmatrix}$이고, 이것을 대입해서 풀면 자명한해(영행렬)를 얻는다.
예제)
$A = \begin{bmatrix}
2&-3&0\\
-1&-1&0\\
3&-2&0
\end{bmatrix}$인, $AX=O$를 풀라.
해설)
$A$를 reduce 해주면,
$A_R = \begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}$이고, 위의 정리를 따라 대입해서 풀면, 비자명한 해를 얻는다. 즉,
$X = \alpha\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
$이다.