수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
다른 행렬의 기본 연산은 간단하므로 생략한다.
1. 행렬곱
1-1. 행렬곱의 일반적인 연산
$\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&2&2\\
3&3&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2\\
1&2\\
1&2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3&6\\
6&12\\
9&18
\end{pmatrix}$
일반적인 행렬곱의 연산은 '앞 행렬의 행'과 '뒤 행렬의 열'을 '내적'하는 것이다.
1-2. 뒤의 행렬을 각각의 열벡터로 분리해서 생각하기
$\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&2&2\\
3&3&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2\\
1&2\\
1&2
\end{pmatrix}$
에서,
$\begin{pmatrix}
1&2\\
1&2\\
1&2
\end{pmatrix}$부분의 1열과 2열을 벡터로 생각하고 연산한다. 이렇게 생각하면 연산결과의 각 열을 아래와 같이 연산한다고 생각한다.
$\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&2&2\\
3&3&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3\\
6\\
9
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&2&2\\
3&3&3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
2\\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6\\
12\\
18
\end{pmatrix}$
이 두 열을 함께 써주면.
$\begin{pmatrix}
3&6\\
6&12\\
9&18
\end{pmatrix}$
1-3. 앞 행렬을 열벡터로 보고, 뒤 행렬의 각 원소를 곱한 것으로 보기
$AX=B$형태일 때 이렇게 생각해볼 수 있다.
$\begin{pmatrix}
6&-3&4\\
2&1&7\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}
=
x_1
\begin{pmatrix}
6\\
2\\
\end{pmatrix}
+
x_2
\begin{pmatrix}
-3\\
1\\
\end{pmatrix}
+
x_3
\begin{pmatrix}
4\\
7\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6x_1-3x_2+4x_3\\
2x_1+x_2+7x_3\\
\end{pmatrix}$
보통은 그냥 1-1 방식으로 계산한다. 1-2나 1-3은 증명이 필요한 경우에나 가끔 볼 수 있다.
2. 기본 행연산(Elementary Row Operation. 이하 ERO)
행렬식을 계산할 때에는 기본 행연산을 열에 대해서도 적용가능하다. 하지만 행렬을 reduce할 때(기약꼴로 만들 때)에는 행연산만을 사용해야한다.
ERO1 : 행렬의 두 행을 교환한다.
ERO2 : 0이 아닌 상수를 한행에 곱한다.
ERO3 : 한 행에 상수를 곱하고 다른 행에 더한다.
3. ERO에 관한 몇가지 정리
- 행렬 $A$에 ERO를 한 것은, 항등행렬$I_n$에 ERO를 한 결과를 $A$에 곱한 것과 같다.
- ERO는 역산할 수 있다.
4. Reduced Form of Matrix(행렬의 기약꼴)
- 해당 행의 leading entry(선행성분. 왼쪽에서 차례로 읽었을 때 그 행에서 가장 먼저 0이 아닌 수)는 1이다.
- leading entry 위/아래로 모두 0이다.
- nonzero row(행의 모든 성분이 0이 아닌 행. 즉 선행성분이 존재하는 행)의 leading entry는 바로 윗 행과 비교하여 점점 오른쪽으로 밀려야한다.
- zero row는 맨 밑에 존재한다.
Flow Chart for Reducing Matrix by ERO
- zero row를 맨 밑으로
- 첫행 선행행렬을 1로
- leading entry 위/아래로 0으로
- 2,3의 과정을 다음행에 반복
예제)
$\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 4&5&6\\ 1&2&3\\ \end{pmatrix}
$
를 Elementary Row Operation을 이용해 Reduced Form으로 만들어라.
sol)
$\begin{pmatrix}
0&0&0\\
4&5&6\\
1&2&3\\
\end{pmatrix}
\implies
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}
\implies
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&-3&-6\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}
\implies
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&1&2\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}
\implies
\begin{pmatrix}
1&0&-1\\
0&1&2\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}$
5. Rank
- 행렬의 각 행을 벡터로 보면, 각 벡터들은 Subspace를 span한다. 이때 이 subspace를 row space라고 한다.
- row space의 dimension, 즉 row space의 basis를 구성하는 벡터의 개수를 row rank라고 한다.
- 모든 행렬에서 row rank = column rank이다.
- 행렬 $A$를 ERO를 통해 $A_R$로 만든 때에, $rank(A_R) = rank(A) = $ number of nonzero rows of $A_R$
rank의 개념은 이후 Homogeneous/Nonhomogeneous System의 해의 자명/비자명함을 예측하는 데에 도움된다. 물론몰라도 연립방정식 자체는 풀 수 있다...