수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
Shifting Theorem(s-shifting)
$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)](s) = F(s-a)$$
$$\mathcal{L^{-1}}[F(s-a)](t) = e^{at}f(t)$$
증명은 아래와 같다.
$\mathcal{L}[e^{at}f(t)](s)$
$=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)dt$
$=F(s-a)$
Heaviside Function의 정의
$H(t) = 0 (t<0), 1 (t \geq 0), H(t-a) - H(t-b)= 0 (t<a), 1 (a \leq t < b), 0 (t \geq b)$
Shifting Theorem(t-Shifting)
$$\mathcal{L}[H(t-a)f(t-a)](s) = e^{-as}F(s)$$
$$\mathcal{L^{-1}}[e^{-as}F(s)](t) = H(t-a)f(t-a)$$
s-Shifting 예제이다.
예제)
$\mathcal{L}[e^{at}cosbt](s)$
를 라플라스 변환하라.
풀이)
$=\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$
예제)
$\mathcal{L^{-1}}[\frac{4}{s^2+4s+20}]$
를 역라플라스 변환하라.
풀이)
$=\mathcal{L^{-1}}[\frac{4}{(s+2)^2+4^2}] = e^{-2t}\sin4t$
t-Shifting 예제이다.
예제)
$ g(t)= \begin{cases} & 0 \text{ if } t < 2 \\ & t^2+1 \text{ if } t \geq 2 \end{cases}$
를 라플라스 변환하라.
풀이)
$g(t)=H(t-2)(t^2+1)=(t-2)^2H(t-2)+4(t-2)H(t-2)+5H(t-2)$
$\mathcal{L}[g]=\frac{2e^{-2s}}{s^3}+\frac{4e^{-2s}}{s^2}+\frac{5e^{-2s}}{s}$
예제)
$\mathcal{L^{-1}}[\frac{se^{-3s}}{s^2+4}]$
풀이)
$\cos2(t-3)H(t-3)$
종합 예제
예제)
$y''+4y=f(t),f(t) = \begin{cases} & 0\text{ if }t<3 \\ & t\text{ if }t\geq3 \end{cases},y(0)=y'(0)=0$
풀이)
양변에 라플라스 변환을 하면,
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4Y=\mathcal{L}[tH(t-3)]$
$=\mathcal{L}[(t-3)H(t-3)]+\mathcal{L}[3H(t-3)]$
$=\frac{e^{-3s}}{s^2}+\frac{3e^{-3s}}{s}$
이를 정리하면
$Y(s)=\frac{3s+1}{s^2(s^2+4)}e^{-3s}$이고, 이를 부분분수로 나눠서 역라플라스 변환하면 된다.
s-Shifting, h-Shifting를 연속으로 사용하여 다음 예제를 풀어본다.
예제)
$y''+2y'+2y=\delta(t-3),y(s)=y'(0)=0$
풀이)
$Y=e^{-3s}/(s^2+2s+2)$
이걸 역 라플라스 변환해아하는 것인데, 지수함수도 붙어있는 데다가 shifted되어있다.
$\mathcal{L^{-1}}[F(s-a)]=e^{as}f(t)$이것을 먼저 사용하고, 이를 통해 찾은 f(t)를 아래에 대입해 문제를 푼다.
$\mathcal{L^{-1}}[e^{-as}F(s)]=H(t-a)f(t-a)$
$\mathcal{L^{-1}}[\frac{1}{(s+1)^2+1}]=e^{-t} \sin t$
$\mathcal{L^{-1}}[Y]=H(t-3)e^{-(t-3)}\sin (t-3)$