공업수학 요점정리 #5 - 라플라스 변환(Laplace Transform)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.

 

자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.

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앞서 본 2계 상미분 방정식을 푸는 정형화된 방법 외에, Initial Value Problem에 있어서 강력한 방법 하나를 소개하고자 한다. 앞서 소개된 2계 상미분 방정식의 homogeneous case는 계수가 상수일때만 풀이가 가능했다.

라플라스 변환을 이용하면 계수가 상수가 아닌 경우에 대해서도 풀이가 가능하다.

라플라스 변환을 이용해 문제를 풀수 있는 경우는 Initial Value Problem에 한정한다.

 

 

함수 f를 라플라스 변환하면 다음과 같이 표현된다.
$$\mathcal{L}[f](s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt$$


$\mathcal{L}[f](s)$을 $f(t)$의 라플라스 변환이라고 한다. 이때 보통 라플라스 변환의 표기를 대문자 $F$로 한다.
보통 라플라스 변환은 t domain에서 s domain으로 이동하는 연산이라고 한다.

 

 

Laplace Transform, Inverse Laplace Transform은 모두 Linear하다.

$\mathcal{L}^{-1}[F+G]=f+g, \mathcal{L}[f+g]=F+G$
$\mathcal{L}^{-1}[cF]=cf, \mathcal{L}[cf]=cF, 단 c는 상수$

 

 

라플라스 변환의 정의를 일일이 대입해 사용하기 어려우므로 변환표를 사용해서 문제를 푼다.

 

$$f(t)$$	$$F(s)$$
$$1$$	$$\frac{1}{s}$$
$$t^n$$	$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
$$e^{at}$$	$$\frac{1}{s-a}$$
$$\sin{at}$$	$$\frac{a}{s^2+a^2}$$
$$\cos{at}$$	$$\frac{s}{s^2+a^2}$$
$$t\sin{at}$$	$$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$$
$$t\cos{at}$$	$$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$$
$$\sinh{at}$$	$$\frac{a}{s^2-a^2}$$
$$\cosh{at}$$	$$\frac{s}{s^2-a^2}$$

 

아래는 다른 정리를 통해 유도하는 공식이다.

$$f(t)$$	$$F(s)$$
$$t^ne^{at}$$	$$\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$$
$$e^{at}\sin{bt}$$	$$\frac{b}{(s-a)^2+b^2}$$
$$e^{at}\cos{bt}$$	$$\frac{s-a}{(s-a)^2+b^2}$$
$$\delta(t-a)$$	$$e^{-as}$$

 

 

도함수의 Laplace Transform

$F$가 $t \geq 0$에서 연속, $f'$가 $t \geq 0$ 에서 부분연속(piecewise continuous), $s>0$에서 $\lim_{k\to\infty} e^{-st}f(k)\ = 0$ 일때,
$$\mathcal{L}[f'](s) = sF(s) - f(0)$$

이걸 확장해서

$$\mathcal{L}[f''](s) = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$$
$$\mathcal{L}[f^{(n)}](s) = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) ...... - f^{(n-1)}(0)$$

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예제) $y''+4y'+3y=e^t,y(0)=0,y'(0)=2$ 을 푸시오.

풀이) 양변에 Laplace Transform을 하면

$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4sY-4y(0)+3Y = \frac{1}{s-1}$

이를 $Y$에 대해 정리하면

$Y=\frac{2s-1}{(s-1)(s+3)(s+1)}=\frac{1}{8(s-1)}+\frac{3}{4(s+1)}-\frac{7}{8(s+3)}$

이걸 그대로 inverse laplace transform하면,

$y=\frac{1}{8}e^t+\frac{3}{4}e^{-t}-\frac{7}{8}e^{-3t}$이 된다.