수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
solution의 결과가 보기에 편안한 형태가 아닌 경우(즉, closed form이 아닌 경우)에 대해서 solution을 구할 때 사용한다.
closed form의 예시)
$y'+2y=1, y(0)=3$를 풀면,
$sY-y(0)+2Y=1/s$이고,
이를 정리하면 $y(x)=1/2+5e^{-2x}/2$
closed form이 안되는 예시)
$y''+e^xy=x^2, y(0)=4$를 풀면,
$y(x)=e^{-e^x} \int\limits_{0}^{x} \xi^2e^{e^\xi} d\xi +4e^{-e^x}...$
이런 깔끔하지 못한, 일반적인 풀이가 안되는 경우(단순히 시험 대비를 한다는 관점에서는, 계수가 constant가 아니고, Laplace Transform을 이용해도 쉽게 풀리지 않는 경우) 급수해를 구해 문제를 푼다.
Series Solution에는 크게 Power Series 풀이법과 Frobenius Solution 풀이법이 있다. 두가지 다 비슷한 거 같은데 보기에 무슨 차이가 있는 지 필자는 잘 모르겠다.
- Power Series Solution
Taylor Series를 이용해서 문제의 답을 구한다.
함수 f(x)에 대한 Talyor Series는
$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n, a_n=f^{(n)}(x_0)/n!$
Taylor Series를 $(x_0-h, x_0+h)$에서 가질 수 있다면
그 $f$를 analytic하다고 한다.
사실상 해당 지점에서 미분가능하면 그 지점에서 analytic하다고 생각하면 된다.
Series Solution을 이용하는 데 있어서 기억해야하는 점은,
$y=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$를 두고, 이를 주어진 미분방정식에 대입하여 문제를 푸는 것이다.
- 급수해의 존재성 그리고 유일성
$y'+p(x)y=q(x), y(x_0)=y_0$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$
단, $y(x_0)=A, y'(x_0)=B$ 일 때,
이 두 경우에서,$p,q,f$가 $x_0$에서 analytic하면,
$x_0$에서 유일한 급수해를 가진다.
예제)
$y''+x^2y=0, x_0=0$을 Series Solution을 이용해서 풀어라
풀이)
$y=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
$y=\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
$y=\sum\limits_{n=2}^{\infty}(n-1)na_nx^{n-2}$
을 대입하고 점화식을 구해서 푼다.
$y=\sum\limits_{n=2}^{\infty}(n-1)na_nx^{n-2} + \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0$
이 때, 차수 일치를 위해 몇가지 조작 후 결합한다.
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}(n-1)na_nx^{n-2} $
$= 1*2*a_2x^0+2*3*a_3x^1+...$
$=\sum\limits_{0}^{\infty}(n+1)(n+2)a_{n+2}x^n$
같은 방법으로, $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2} = \sum\limits_{n=2}^{\infty}a_{n-2}x^n$
즉, $y=\sum\limits_{n=2}^{\infty}(n-1)na_nx^{n-2} + \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+2}=0$는,
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}((n+1)(n+2)a_{n+2}+a_{n-2})x^n$
$+2a_2+6a_3x=0$
이 식이 항등식이므로, $a_2=a_3=0$
$a_{n+2}= -\frac{a_{n-2}}{(n+1)(n+2)}$이고, n에 수를 하나하나 대입해서 풀면,
$a_4=-a_0/12, a_5=-a_1/20, a_6=0, a_7=0....$
따라서,
$y(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
$=a_0+a_1x+0x^2+0x^3-a_0x^4/12-a_1x^5/20$