공업수학 요점정리 #7 - 라플라스 변환, 합성곱, 디랙 델타 함수, 다항 계수(Laplace Transform, Convolution, Dirac Delta Function, Polynomial Coefficient)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.

 

자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.

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- convolution의 정의

$t \geq 0$에서 정의된 $f(t), g(t)$이 있다. 이때, 아래의 식이 수렴하면, 이를 $f$와 $g$의 convolution이라 한다.


$$(f*g)(t) = \int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau), d\tau$$

 

- convolution의 성질

1. $f*g = g*f$ : 교환법칙

2. $\mathcal{L}[f*g](s) = F(s)G(s)$

3. $\mathcal{L^{-1}}[FG] = f*g$

이 3번이 중요하다. 3번을 이용해서 Inverse Laplace Transform을 각 함수별로 분할해서 수행할 수 있다.

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예제)

$\mathcal{L}[\frac{1}{s(s-4)^2}]$를 풀어라

풀이)

$F(s)=\frac{1}{s}, G(s)=\frac{1}{(s-4)^2}$
이걸 역라플라스변환하면
$f(t)=1, g(t)=e^{4t}t$
이렇게 된다. 원식을 F와 G의 곱으로 보아서,
$\mathcal{L}[\frac{1}{s(s-4)^2}]$
$=1*te^{4t}=\int\limits_{0}^{t}\tau e^{4\tau}d\tau$
$=\frac{te^{4t}}{4}-\frac{e^{4t}}{16}+\frac{1}{16}$

 

예제)반복되는 f(t)의 형태도 풀 수 있다.
$f(t)=2t^2+\int\limits_{0}^{t}f(t-\tau)e^{-\tau}dt$
를 라플라스 변환을 이용해 풀어라

풀이)

$=2t^2+f(t)*e^{-\tau}$
Laplace하자.
$F(s)=\frac{4}{s^3}+F(s)\frac{1}{s+1}$
이걸 정리해서 역라플라스 변환하면,
$f(t)=2t^2+2t^3/3$

 

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- Impulse & Delta Function

impulse는 다음과 같이 정의한다. 고등학교 물리시간에서 나오는 충격량하고 똑같다.

$\delta_\epsilon(t) = \frac{H(t) - H(t-\epsilon)}{\epsilon}$


- Dirac Delta Function의 정의

impulse를 극한으로 보내면 된다.

$\delta(t) =\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\delta_\epsilon(t)$


- Delta의 Laplace Transform

$\mathcal{L}[\delta (t)] = 1$

$\mathcal{L}[\delta (t-a)] = e^{-as}$


- Delta Function의 성질

1. $f*\delta= f$

2. $a>0, \int_{0}^{\infty}f(t)dt$가 수렴하면, $\int_{0}^{\infty}f(t)\delta (t-a)dt = f(a)$ 

 

- Polynomial Coefficients
$s>b$에서, $F(s)$가 미분가능할 때,
$\mathcal{L}[tf(t)](s) = -F'(s)$

이를 응용해서,
$\mathcal{L}[t^2f(t)](s) = -F''(s)$
$\mathcal{L}[t^{(n)}f(t)](s) = (-1)^nF^{(n)}(s)$

$f(t)$가 $t \geq 0$에서 piecewise continuous하고, $|f(t)| \leq Me^{bt} (t \geq 0)$을 만족하는 $M$과 $b$가 존재하면,

$$\lim_{s \to \infty}F(s) = 0$$

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예제) 위의 두 정리를 이용해서 문제를 풀어라.
$y''+2ty'-4y=1, y(0)=y'(0)=0$ 를 라플라스 변환해라.

풀이)
$s^2Y+2(-(sY-y(0))')-4Y=1/s$
이걸 정리하면...
$Y'+(\frac{3}{s}-\frac{s}{2})Y=-\frac{1}{2s^2}$

이는 First ODE 문제다. 이 유형의 풀이법은 다음 링크 참고(https://knowledgeforengineers.tistory.com/3?category=883600).

 

여기서 integrating factor는 $e^{3ln(s)-\frac{1}{4s^2}}$
이걸 양변에 곱하고 적분하면 다음과 같다.
$Y(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{Ce^{s^2/4}}{s^3}$

이때 y를 구해서 Delta Function에 대한 3번 정리를 만족하는 M, b값이 존재하면, C = 0 이다.
(참고로 $e^{s^2/4}$에 대해서 라플라스 변환을 할 수 있는 방법이 없다.)
가정에 따라서, $y(t)=\frac{t^2}{2}$