수식이 깨져서 나오면 PC버전으로 봐주세요.
증명은 생략하고 주요 사항만 정리하니, 증명은 대학 강의나 교재를 참고하길 바랍니다.
이어서 Non-Homogeneous Case의 경우는
$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), f(x) \neq 0$$
인 경우를 얘기한다.
이때 Non-Homogeneous Case의 general solution는 다음과 같다.
$$y(x)=c_1y_1+c_2y_2+Y_p(x)$$
여기서 $c_1y_1 + c_2y_2$ 의 경우는 Non-Homogeneous case에서 \(f(x)=0\) 으로 두고 봤을 때(이를 associated homogeneous equation이라고 한다.) 그 식의 general solution이므로 공업수학 #2에서의 식을 이용해서 풀면 된다.(https://knowledgeforengineers.tistory.com/8)
$Y_p(x)$(particular solution)의 경우는 method of variation of parameters 혹은 guessing을 통해서 구한다.
2. Non-Homogeneous Case를 푸는 두가지 방법
첫번째 방법
Method of variation of parameters라고 한다. 사실 그냥 적분공식을 암기하면 된다.
$Y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)$로 두고, 다음과 같이 그 계수를 구한다.
$$u_1(x)=-\int_{}^{} y_2(x)f(x)/W(x)\, dx$$
$$u_2(x)=-\int_{}^{} y_1(x)f(x)/W(x)\, dx$$
여기서 $W(x)$는 Wronskian test의 값이다.
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두번째 방법
guessing particular solution
$f(x)$의 형태에 따라 particular solution을 예측하고, 이를 원래의 미분방정식에 대입해서 미정계수를 구하는 방법이다.
솔직히 이걸 항상 외우고 살 수는 없으므로 시험 직전에만 바짝 외우도록하자...
| $f(x)$ | $Y_p(x)$ |
| $P(x)$(다항식) | $Q(x)$(다항식) |
| $Ae^{cx}$ | $Be^{cx}$ |
| $A\cos{\beta x}$ | $C\cos{\beta x} + D\sin{\beta x}$ |
| $A\sin{\beta x}$ | $C\cos{\beta x} + D\sin{\beta x}$ |
| $P(x)e^{cx}$ | $Q(x)e^{cx}$ |
| $P(x)\cos{\beta x}$ | $Q(x)\cos{\beta x} + R(x)\sin{\beta x}$ |
| $P(x)\sin{\beta x}$ | $Q(x)\cos{\beta x} + R(x)\sin{\beta x}$ |
예제 1
$y''+4y=\sec{x}$를 푸시오.
method of variation of parameters를 이용해서 풀어보자.
$y''+4t=0$은 그 특성방정식의 근이 \(\lambda = \pm 2i\)이므로
$y_1 = \cos{2x}, y_2 = \sin{2x}$이다. 그에 따라서 wronskian값은
$$W(x) =\begin{vmatrix}\cos{2x}&\sin{2x}\\-2\sin{2x}&2\cos{2x}\end{vmatrix}=2$$
이를 통해 공식에 대입하면
$$u_1(x)=\cos{x}, u_2(x)=\sin{x}-\ln{(\sec{x} + \tan{x})}/2$$
따라서 general solution은
$$y(x) = c_1\cos{2x} = c_2\sin{2x} + \cos{x}\cos{2x} + (\sin{x} -\ln{(\sec{x} + \tan{x})}/2)\sin{2x}$$
예제 2
$y''-6y' + 9y=5e^{3x}$를 푸시오.
particular solution을 guess하자.
이 경우 associated homogeneous equation의 solution이 $y(x)=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}$이므로 $Y_p(x)=Ae^{3x}$를 대입하려고하면 $c_1e^{3x}$에 포함되는 결과가나올것이다. 그러므로 한 차수 높여서 $Y_p(x)=Ax^{2}e^{3x}$로 추정하고 이를 대입한다.
$2Ae^{3x}+12Axe^{3x}+9Ax^2e^{3x}-6(2Axe^{3x}+3Ax^2e^{3x})+9Ax^2e^{3x}=5e^{3x}$
따라서 $A=2.5$
여기서 associated homogeneous equation까지 풀어서 general solution을 구하면,
$$y(x)=c_1e^{3x}+c_2xe^{3x}+2.5x^2e^{3x}$$