수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
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공업수학 요점정리 ＆ 공업수학 문제 #3 - 2차 상미분 방정식 (2st order Ordinary Differential Equation)
수식이 깨져서 나오면 PC버전으로 봐주세요. 증명은 생략하고 주요 사항만 정리하니, 증명은 대학 강의나 교재를 참고하길 바랍니다. 이어서 Non-Homogeneous Case의 경우는 $$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), f(x) \neq
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이전 글의 주제였던 2차 상미분 방정식 풀이에 이어서, 이번 글에서는2차 상미분 방정식 중 계수가 상수가 아닌 경우 중 하나인 Euler's Differential Equation을 풀도록 하겠다.
수치해석 방법 중 하나인 Euler's Method와는 다른 것이니 유의 바란다.
$$x^2y''+Axy'+By=0, A와 B는 상수$$
이런 형태의 상미분방정식을 Euler's Differential Equation이라고 한다.
이 식에 $x=e^t$를 대입해서 $t$에 관하여 풀면, 상수가 아닌 계수들이 사라지고 예쁜 형태가 되는 데, 그게 바로
$$Y''(t)+(A-1)Y'(t)+BY(t)=0$$
이 것이다. 치환 과정은 귀찮으므로 생략하겠다. 그리고 어차피 저게 시험문제로 나온다면 저 식 자체를 외워두고 쓰는 게 훨씬 빠르다.
예제1)$x^2y''-5xy'+10y=0, y(1)=4,y'(1)=-6$
sol)간단히 대입해서, $Y''(t)-6Y'(t)+10Y(t)=0$으로 두면
$\lambda = 3 \pm i$ 따라서 $Y(t)=e^{3t}(C_1\cos{t}+C_2\sin{t})$
이걸 다시 x에 대한 식으로 변환하면, $y(x)=x^3(c_1\cos{\ln{x}} + c_2\sin{\ln{x}})$
여기에 조건인 $y(1)=4,y'(1)=-6$을 대입하자. 그러면 $c_1=4, c_2=-18$
따라서 답은 $y(x)=4x^3\cos{\ln{x}} -18x^3\sin{\ln{x}})$