수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.
자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
<1>
Power Series Solution이 있는데 굳이 Frobenius Solution을 사용하는 이유는 무엇일까?
Power Series Solution은 이용하는 데에 있어서 analytic하지 못하는 구간에 대해서 사용할 수가 없다. 이러한 지점을 singular point라고 하는데, Frobenius solution을 이용해서 singular point에서의 미분방정식의 급수해를 구한다.
단, 이 singular point가 regular해야한다.
$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=F(x)$에 대해서, $P(x_0)=0$인 $x_0$을 singular point라고 한다.
이런 $x_0$중, $(x-x_0)\frac{Q(x)}{P(x)}$, $(x-x_0)^2\frac{R(x)}{P(x)}$가 모두 analytic하면, 그 singular point는 regular이다.
<2>
Power Series 풀이와 마찬가지로, $y= \sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^{n+r}$을 대입한다.
대입 결과 나오는 indical equation을 풀고 3가지 case에 대하여 2가지 linearly independent solution을 만든다.
보통 이 결과 점화식이 나올텐데, 일반해 형태는 안나오는 경우가 태반이니 기대하지 않도록 하자.
indical equation의 두근 $r_1,r_2$에 대하여 $r_1 \geq r_2$일 때, 세가지 case에 대하여 고려해본다.
- case1 : $r_1-r_2$이 양의 정수가 아닌 경우
두 근은
$y_1= \sum_{n=0}^\infty c_nx^{n+r_1}$
$y_2= \sum_{n=0}^\infty c_n^*x^{n+r_2}$
단, $c_0 \neq 0, c_0^* \neq 0$
- case2 : $r_1-r_2=0$
$y_1= \sum_{n=0}^\infty c_nx^{n+r_1}$을 구한다. 그 후,
$y_2= y_1ln(x) + \sum_{n=1}^\infty c_n^*x^{n+r_1}$ 을 원식에 대입해서 $c_n^*$을 구한다.
이 때 $y_2$의 부분합의 시작이 $n=1$임에 유의하라.
- case3 : $r_1-r_2$이 양의 정수인 경우
$y_1= \sum_{n=0}^\infty c_nx^{n+r_1}$
$y_2= ky_1ln(x) + \sum_{n=0}^\infty c_n^*x^{n+r_2}$을 푼다.
이때,
$c_n^*=0$이면, $y_2$를 원식에 대입해서 상수 k를 구한다.
$c_n^* \neq 0$이면, $k=0$으로 둔다. 그리고 k를 구하지 않는다.
regular/irregular singular point 구분하기
예제)
$x^3(x-2)^2y'' + 5(x+2)(x-2)y' + 3x^2y =0$의 0,2에서의 singular point의 regularity를 판단하라.
풀이)
$(x-0)\frac{Q(x)}{P(x)}=\frac{5(x+2)}{x^2(x-2)}$ 따라서 $x_0=0$에 대해서 not analytic하다. 따라서 $x_0=0$는 irregular singular point이다.
$(x-2)\frac{Q(x)}{P(x)}=\frac{5(x+2)}{x^3}, (x-2)^2\frac{R(x)}{P(x)}=\frac{3}{x}$ 모두 $x_0=2$에 대하여 analytic하다. 따라서 $x_0=2$은 regular singular point이다.
Frobenius Solution 에제는 다음 포스팅에서 이어서...