수식이 깨져서 나오면 PC버전으로 봐주세요.
증명은 생략하고 주요 사항만 정리하니, 증명은 대학 강의나 교재를 참고하길 바랍니다.
2차 선형미분방정식의 해법은 다음 세 가지 정도를 살펴보면 된다.
1. Homogeneous Case
2. Non-Homogeneous Case
3. Euler Differential Equation
1. Homogeneous Case의 general solution
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$
형태로 우변이 0인 2차 미분방정식을 homogeneous 하다고 한다.
여기서 2차 미분방정식은 근이 $y_1, y_2$로 두 개가 나오는데, 서로 linearly independent하면 $c_1y_1 + c_2y_2$를 general solution으로 가진다.
이를 판단하기 위해서 Wornskian test를 이용한다.
$$W(y_1, y_2) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} \neq 0$$
Wronskian test의 값이 0이 아니면, 두 근 $y_1, y_2$는 서로 linearly independent하다. 그리고 그때, $c_1y_1 + c_2y_2$이 general solution이다.
2. 풀이법
계수가 상수인 경우에 한하여 homogeneous 2nd ODE를 푸는 방법은 그 characteristic equation의 근의 개수에 따라 세 가지로 나뉜다.
이때 특성방정식은 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$에 $y=e^{\lambda x}$을 대입해서 나온다. $\lambda$값의 개수에 따라 homogeneous 2nd ODE를 푸는 방법이 달라지는 것이다. 자세한 방법은 마지막의 예제 1을 참고하자.
2-1. Case1
$\lambda$값이 서로 다른 두 실근인 경우
$$y_1=e^{\lambda_1 x}, y_2=e^{\lambda_2 x}$$
이 두개가 homogeneous 2nd ODE의 근이고, 이에 따른 general solution은
$$y=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}$$
2-2. Case2
$\lambda$값이 서로 같은 두 실근인 경우
이 경우에 대한 general solution은
$$y=c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}$$
2-3. Case3
$\lambda$값이 서로 다른 두 허근인 경우
이때 특성방정식의 해가 $\lambda = \alpha \pm i\beta$이면,
이 경우에 대한 general solution은
$$y=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}=e^{\alpha x}(c_1e^{i\beta x}+c_2e^{-i\beta x})$$
이걸 오일러 방정식으로 정리하게 된다면,
$$y=e^{\alpha x}(c_1\cos{\beta x} + c_2\sin{\beta x})$$
이 된다.
예제 1
$y'' - y' -6y = 0$을 푸시오.
특성방정식을 구해서 푼 후, general solution에 대입한다.
미분방정식에 $y=e^{\lambda x}$을 대입하고 정리하여 특성방정식을 구한다. 이는 $\lambda^2 - \lambda - 6$이다.
특성방정식의 근이 -2, 3이다. Case1의 풀이로, 그 general solution은 다음과 같다.
$$y=c_1e^{-2x} + c_2e^{3x}$$
예제 2
$y'' + 8y' +16y = 0$을 푸시오.
예제 1과 마찬가지의 방법으로 푼다.
특성방정식의 근이 -4이다. Case2의 풀이로, 그 general solution은 다음과 같다.
$$y=c_1e^{-4x} + c_2xe^{-4x}$$
예제 3
$y'' + 2y' +3y = 0$을 푸시오.
예제 1과 마찬가지의 방법으로 푼다.
특성방정식의 근의 실수부는 -1, 허수부는 제곱근 2이다. Case3의 풀이로, 그 general solution은 다음과 같다.
$$y=e^{-x}(c_1\cos{\sqrt{2} x} + c_2sin{\sqrt{2} x})$$