Ordinary Differential Equation은 번역하면 상미분 방정식이다. 보통 줄여서 ODE라고 표현하기도 한다.
ODE는 방정식 중 도함수가 포함된 방정식을 말한다. 예를들면
$$y''+xy=0$$
이런 것이다.
이번에는 그 중에서도 1차 상미분 방정식을 풀 것이다.
1차 상미분 방정식은 크게 4가지 풀이법으로 분류할 수 있다.
1. Separable Equation
2. Linear Equation
3. Exact Differential Equation
4. 기타...
제멋대로 분류하기는 했지만 경험상 가장 많이 사용하게 되는 풀이법 3개를 알아보도록 하자.
Case1 : Separable Equation
$y'=F(x)G(y)$형태로, 변수 분리해서, ${1 \over\ G(y)}dy=F(x)dx$으로 변형 후 적분한다.
주의해야할 점은 $G(y)=0$을 만족하는 $y$값도 근에 포함된다는 점이다.
ex) ${dy \over\ dx} = y^2e^{-x}$
${1 \over\ y^2}dy = e^{-x}dx$을 양변 적분한다.
$-{1 \over\ y} = e^{-x} + k$ (k는 상수)
따라서 $y = {1 \over\ e^{-x} +k}$
Case2 : Linear Equation
$y'+p(x)y=q(x)$형태로 표현된 방정식이다.
$e^{\int p(x) dx}$를 양변에 곱하고 적분하면 간단히 정리된다.
$\int({e^{\int p(x) dx}y' + e^{\int p(x) dx}p(x)y})dx = e^{\int p(x) dx}y$
이때 $e^{\int p(x) dx}$를 Integrating Factor라고 부른다.
ex) $y'+y=x$
$p(x)=1, q(x)=x$로 본다. Integrating factor는 $e^{x}$
$e^xy'+e^xy=e^{x}x$ 양변 적분하면
$e^{x}y=xe^{x}-e^{x}+C$(C는 상수)
따라서$y=x-1+Ce^{-x}$
Case3 : Exact Equation
$$M(x,y)+N(x,y)y'=0$$
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$
이런 형태의 방정식에 대한 풀이다.
Total Differential(전미분)이 \[d \varphi = {\partial \varphi \over\ \partial x}dx+{\partial \varphi \over\ \partial y}dy \]임을 이용해,
${\partial \varphi \over\ \partial x} = M(x,y) {\partial \varphi \over\ \partial y} = N(x,y)$이라하고, potential fuction $\varphi$이 존재한다고 가정해서 푼다.
그 과정은
1. ${\partial N \over\ \partial x} = {\partial M \over\ \partial y}$를 확인해서 potentail function의 유무를 확인한다.
2. ${\partial \varphi \over\ \partial x} = M(x,y), {\partial \varphi \over\ \partial y} = N(x,y)$를 모두 적분한다.
3. potential function $\varphi (x,y) = C$을 구한다.
ex) $(\cos{x} -2xy) + (e^y-x^2)y'=0, y(1)=4$
$(\cos{x} -2xy)dx + (e^y-x^2)dy=0$
이때 ${\partial \over\ \partial y}(\cos{x}-2xy) = {\partial \over\ \partial x}(e^y-x^2) =-2x$. 따라서 potential이 존재한다.
\( N(x,y)=e^y-x^2 \), 이걸 y로 적분하고 또 \( M(x,y)=cos{x}-2xy \)도 x로 적분해서 비교해 푼다.
$\varphi =-x^2+g'(y)=-x^2+e^y=C$ (C는 상수)
$\varphi=\sin{x}-x^2y+e^y=C$(C는 상수)
$y(1)=4$를 대입하면, 방정식은 $\sin{x}-x^2y+e^y=e^4-4+\sin{1}$의 결과를 가진다.