공업수학 요점정리 #25 - 선형대수학(Linear Algebra) - 대각화 (Diagnalization)

수식이 깨져서 보일 경우 PC 버전으로 봐주시길 바랍니다.

 

자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.

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대각화(Diagnalization)의 정의

 

행렬 $A$가 eigenvector가 있을 때, $D=X^{-1}AX$를 diagnal matrix라고 한다. $D$는 대각행렬이기에 대각원소를 제외하면 모두 0이다.

 

diagnal matrix에는 세가지 특징이 있다. 그리고 행렬 $A$에서 diagnal matrix를 만드는 과정을 대각화(Diagnalization)라고 한다.

 

1. $D$의 main diagnal entries는 행렬 $A$의 eigenvalue로 구성되어 있다.
2. $X$는 $A$의 eigenvector를 column vector로 서로 붙여놓은 것이다. 그 순서는 $D$의 main diagnal entries 순서와 같다.
3. $n \times n$ 행렬 $A$가 $n$개보다 적은 linearly indepent eigenvector를 지니면 diagnalize 할 수 없다. 반드시 $n$개의 linearly indepent eigenvector를 지녀야한다. 그리고 모든 eigenvector를 구할 수 있는 상황이어야한다.

 

 

예제

 

아래 예제를 보자. 순서대로 한다면,

 

행렬 $A$의 eigenvector를 구한다.

두개를 합쳐서 행렬 $X$를 구한다.

정의 혹은 eigenvalue를 통해서 대각화 행렬 $D$를 구한다.

 

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이제 곧 막바지다. 다음 포스팅에서는 미분연립방정식을 행렬로 만들어서 푸는 방법을 소개하겠다.

 

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