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자세한 증명은 전공서나 강의를 참고하시길 바랍니다.
Span(생성)
벡터공간 $R^{n}$에서 linear combination으로 구성된 Subspace를 말한다.
이걸 다시 말하자면...
1. 벡터공간의 모든 $\alpha_{1}F_{1}+\alpha_{2}F_{2}+...+\alpha_{n}F_{n}$의 집합이다.
2. Span $S$에 벡터 $F, G$가 있으면 $\alpha F+\beta G$도 $S$에 포함된다.
Basis(기저)
span에서 Linear Combination을 구성하는 각각의 벡터 $F_{1},F_{2}, \space ... \space,F_{n}$가 서로 linearly independent하면, 그 $F_{1},F_{2}, \space ... \space,F_{n}$의 집합은 basis이다.
즉, 다음과 같은 조건을 만족시키면 된다.
$F_{1},F_{2}, \space ... \space,F_{n}$에 대해서,
1. $F_{1},F_{2}, \space ... \space,F_{n}$이 spaning set이다. (span을 구성하는 벡터들이다.)
2. linear combination이 합과 곱에 대해 닫혀있다.("2. Span $S$에 벡터 $F, G$가 있으면 $\alpha F+\beta G$도 $S$에 포함된다."과 같은 의미이다.)
3. $F_{1},F_{2}, \space ... \space,F_{n}$이 서로 linearly independent하다.
간단히 그림으로 나타내자면,,,
$basis \implies span \subset subspace$
이런 관계로 보면 된다.
basis의 벡터는 span을 구성하고, span은 subspace의 부분집합이다.
Dimension
basis의 크기 = 기저벡터의 개수
- 같은 $R^{n}$에서 모든 basis는 dimension이 같다.
- basis vector $v_{1}, v_{2}, \space ... \space , v_{n}$에 대하여 $X$를 기술하면
$X = c_{1}v_{1}, c_{2}v_{2}, \space ... \space , c_{n}v_{n}$인데, 여기서 $c_{1}, c_{2}, \space ... \space , c_{n}$를 coordinate라고 한다.
orthogonal basis
- basis vector가 서로 직교(내적 결과가 0)인 basis를 말한다.
orthogonormal basis
- basis vector가 서로 직교(내적 결과가 0)이고, norm이 모두 1인 basis를 말한다.
orthogonal basis $V_{1}, V_{2}, \space ... \space , V_{n}$ 로 위치벡터를 전개할 때
$X = c_{1}V_{1}+ c_{2}V_{2}+ \space ... \space + c_{n}V_{n}$인데, 여기서 coordinate를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$c_{j} = \frac{X\cdot V_{j}}{V_{j}\cdot V_{j}} = \frac{X\cdot V_{j}}{|V_{j}|^2}$
이는 3차원 공간에서의 벡터의 coordinate를 표현하는 방법으로 유추해서 생각해낼 수도 있다.